Q1：合成したあとの角が $\alpha$（有名角でない）の場合、どのように最大・最小を求めればよいですか？
A1：$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角 $\alpha$ として答案に定義した上で進めます。もし $\theta$ が実数全体（あるいは $0 \le \theta < 2\pi$）を動くなら、$\theta+\alpha$ も1周するため最大値は $\sqrt{a^2+b^2}$、最小値は $-\sqrt{a^2+b^2}$ となり、$\alpha$ の具体的な角度が不明でも値は確定します。$\theta$ に狭い制限がある場合は、$\cos\alpha$ や $\sin\alpha$ の数値を元に単位円上でおよその位置を推定して大小比較を行います。
Q2：最大値・最小値だけでなく、「そのときの $\theta$ の値」まで求めよと指示されるのはなぜですか？
A2：置換した変数（例えば $t$）が最大値をとる値として存在しても、それに対応する実数の角 $\theta$ が問題の定義域内に実在しなければ、数学的な最大値として成立しないからです。「そのときの $\theta$」を求める作業は、自分の出した解が問題の前提条件を満たしていることを証明する検算そのものです。
Q3：対称式の問題で $t = \sin\theta + \cos\theta$ と置いたとき、なぜ $t$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ ではなく $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ になるのですか？
A3：$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は互いに連動して変化するため、それぞれが独立して同時に $1$ を取ることはできません（$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ の制約があるため）。$t = \sin\theta + \cos\theta$ を三角関数の合成によって変形すると $\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ となり、正弦の取りうる範囲 $[-1, 1]$ が $\sqrt{2}$ 倍されるため、変域は必ず $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ となります。
