難関大入試で差がつく重要テーマが「図形の束（そく）」の考え方と「ベクトル方程式」の融合です。
交わる2つの円$f(x, y) = x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 = 0$と$g(x, y) = x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2 = 0$に対し、実数$k$を用いた次の方程式を考えます。
$x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 + k(x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2) = 0$
この方程式は、$k \neq -1$のとき「2つの円の交点を通る新たな円」を表します。そして、$k = -1$のときには$x^2$と$y^2$の項が完全に相殺され、「2つの円の交点を通る直線（根軸）」を表す式へと変化します。連立方程式を解いて交点の座標を直接求める必要がないため、極めて強力な解法ツールとなります。
さらに、ベクトルを用いた円の表現も整理しておきましょう。中心の位置ベクトルを$\vec{c}$、半径を$r$、円上の動点の位置ベクトルを$\vec{p}$とすると、円のベクトル方程式は以下のように定義されます。
$|\vec{p} - \vec{c}| = r$ （中心からの距離が一定）
また、2点$A(\vec{a}), B(\vec{b})$を直径の両端とする円のベクトル方程式は、直径に対する円周角が常に$90^\circ$であることから、内積を用いて次のように簡潔に表されます。
$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$
