知識を定着させるために、等比数列の和練習問題と解説を2問確認してみましょう。
【問1：基本】
初項が 5、公比が 2 である等比数列の、初項から第 6 項までの和 $S_6$ を求めよ。
【解説】
初項 $a = 5$、公比 $r = 2$、項数 $n = 6$ です。公比が $r > 1$ であるため、$r-1$ を分母にする公式を選択します。
$$S_6 = \frac{5(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{5(64 - 1)}{1} = 5 \times 63 = 315$$
【問2：項数トラップ】
初項 81、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列において、第 3 項から第 7 項までの和を求めよ。
【解説】
まず「初項」と「項数」を冷静に見分けます。
・新しく考える数列の初項は第 3 項なので、$a_3 = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 81 \times \frac{1}{9} = 9$
・項数は $7 - 3 + 1 = 5$ 個（$7-3=4$ としないよう注意）
公比は $r = \frac{1}{3} < 1$ のため、$1-r$ の公式を使います。
$$S = \frac{9\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9\left(1 - \frac{1}{243}\right)}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{242}{243} \times \frac{3}{2} = \frac{242}{27} \times \frac{3}{2} = \frac{121}{9}$$
