コーシー・リーマンの関係式の真価は、直交座標系にとどまりません。電磁気学の多重極展開や流体力学の円柱周りの流れ解析など、回転対称性を持つ物理現象を扱う際は極座標表示が欠かせません。
$z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と置き、合成関数の微分公式（チェインルール）を適用することで、極座標形式のコーシー・リーマン方程式が導出されます。
$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{かつ} \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$
さらに、ある領域で正則な関数 $f(z) = u + iv$ について、コーシー・リーマンの関係式の両辺をもう一度偏微分して足し合わせると、驚くべき事実が現れます。
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial u}{\partial y}\right) = -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
これを移項すると、実部 $u$ および虚部 $v$ の双方が、物理学全般を支配する「ラプラス方程式（Laplace's equation）」を満たす調和関数であることが証明されます。
$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$
実部 $u$ を静電ポテンシャルや流体の速度ポテンシャルと見なせば、虚部 $v$ はその等ポテンシャル線と直交する電気力線や流線（流れ関数）に対応します。2次元の完全流体や静電場が複素関数を用いるだけで完全に解けてしまうのは、コーシー・リーマンの関係式が調和関数の共役ペアを厳密に結びつけているからにほかなりません。
また、閉曲線に沿った周回積分がゼロになるという複素解析の金字塔「コーシーの積分定理（$\oint_C f(z)dz = 0$）」も、グリーンの定理に関係式を代入することで瞬時に導かれます。まさに、複素解析のすべての壮大な定理群は、この一組の偏微分方程式から発芽しているのです。
