正四面体を平面的な正三角形の組み合わせとして捉えているうちは、計算の泥沼から抜け出せません。トップ層の受験生が密かに愛用している「最大の裏ワザ」は、立方体の中に正四面体を埋め込むアプローチです。
1. 立方体への埋め込み法：体積比で瞬殺する
1辺の長さが $x$ の立方体を想定し、各面で隣り合わない4つの頂点を互い違いに選んで結ぶと、すべての辺の長さが $\sqrt{2}x$ である完璧な正四面体が出現します。正四面体の1辺を $a$ と置けば、$a = \sqrt{2}x$、すなわち $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ の関係が成り立ちます。
この正四面体の体積は、立方体全体の体積から四隅にある直角三角錐を4つ差し引くだけで求まります。
- 立方体の体積：$x^3$
- 四隅の三角錐1つの体積：$\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} x^2\right) \times x = \frac{1}{6}x^3$
- 4つの三角錐の合計体積：$4 \times \frac{1}{6}x^3 = \frac{2}{3}x^3$
- 正四面体の体積：$V = x^3 - \frac{2}{3}x^3 = \frac{1}{3}x^3$
ここに $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ を代入すれば、複雑な立体計算を一切介することなく、
$V = \frac{1}{3} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
と瞬時に導出が完了します。さらに外接球の半径に至っては、正四面体の外接球が「外枠の立方体の外接球」と完全に一致するため、立方体の対角線の半分として一瞬で求まります。
$R = \frac{1}{2} \times (\sqrt{3}x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4}a$
2. 空間ベクトル解法と重心座標の設定
大学入試の2次試験における空間ベクトル問題では、正四面体の対称性を活かした成分設定が威力を発揮します。原点 $O$ を立方体の中心（$= (0,0,0)$）とし、1辺 $2$ の立方体の中に正四面体の4頂点を次のように配置します。
$A(1, 1, 1), \quad B(1, -1, -1), \quad C(-1, 1, -1), \quad D(-1, -1, 1)$
このとき、どの2点間の距離を計算しても $a = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt{2}$ となり、等辺の正四面体が成立していることが確認できます。4頂点の重心座標は、
$G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} = (0, 0, 0)$
となり、外接球・内接球の中心と原点が一致します。ベクトルの内積や面と直線の交点計算を座標上で代数的に処理できるため、幾何学的な補助線を引く発想が思い浮かばない場面における強力な突破口となります。
