「2点間の距離の公式」を暗記の対象として捉えている学習者は少なくありません。しかし、結論から言えば、この公式を丸暗記する必要は一切ありません。なぜなら、座標平面における2点間の距離は、古代ギリシャの数学者が発見したピタゴラスの定理（三平方の定理）の言い換えに過ぎないからです。
具体的な導出プロセスを確認してみましょう。座標平面上に異なる2点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ を取ります。この2点間の距離、すなわち線分 $AB$ の長さを求めたいとします。ここで、点 $A$ から $x$ 軸に平行な線を引き、点 $B$ から $y$ 軸に平行な線を引くと、交点 $C(x_2, y_1)$ が生まれます。これにより、角 $C$ を直角とする直角三角形 $ABC$ が座標平面上に出現します。
この直角三角形の各辺の長さに注目してください。
- 底辺 $AC$ の長さ：$x$ 座標の差である $|x_2 - x_1|$
- 高さ $BC$ の長さ：$y$ 座標の差である $|y_2 - y_1|$
- 斜辺 $AB$ の長さ：求めたい2点間の距離 $d$
中学数学で誰もが触れた三平方の定理「直角三角形において、斜辺の2乗は他の2辺の2乗の和に等しい（$c^2 = a^2 + b^2$）」をそのまま当てはめます。
$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$
距離は必ず正の値（$AB > 0$）をとるため、両辺の正の平方根を取ることで、見慣れた「2点間の距離の公式」が完成します。
$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
教科書に記載されている厳密な公式証明も、実際の手順は直角三角形の斜辺を求めているだけです。この幾何学的なイメージが頭にあれば、試験本番で公式の細部を度忘れしたとしても、手元の余白に小さな三角形を描くだけでわずか数秒で公式を再構築できます。
