多くの学習者がつまずくのが、「根号を外すときの符号判定」です。前述のステップ4において、なぜマイナスを排除してプラス符号のみを採用できるのかを明確にしておきましょう。
アークサインの値域は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$（単位円の右半分、第1象限および第4象限）に設定されています。この範囲において、コサインの値は常に $\cos y \ge 0$ です。微分を考える開区間（$-1 < x < 1$）では厳密に $\cos y > 0$ となるため、複号のうち正の符号のみが確定します。
$$\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$
したがって、分母は常に正の実数となり、導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ という綺麗な形に定まるのです。この値域の縛りを曖昧にしたまま暗記に頼っていると、応用問題や符号判定で手痛い失点を招くことになります。
