剰余の定理を学んだ直後、教科書の次のページに必ず現れるのが「因数定理」です。この2つの公式を別個のものとして記憶しようとする受験生がいますが、それは明確な誤解です。
結論から言えば、因数定理との違いは「余りがゼロであるか否か」という1点のみに集約されます。剰余の定理の特殊なシチュエーションが因数定理なのです。
【因数定理の関係性】
整式 $P(x)$ において、次が同値（まったく同じ意味）となる。
$$P(\alpha) = 0 \iff P(x) \text{ は } (x - \alpha) \text{ を因数に持つ（割り切れる）}$$
証明は言うまでもありません。剰余の定理 $P(x) = (x - \alpha)Q(x) + R$ において、余り $R = P(\alpha)$ です。もし $P(\alpha) = 0$ ならば、式は $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$ となり、余りが綺麗に消えて整式が因数分解された形になります。
この定理の恩恵により、私たちは3次方程式や4次方程式を解く際、定数項の約数などを当てはめて $P(\alpha) = 0$ となる数値を探すだけで、因数分解の足がかりを確実に手に入れることができます。剰余の定理という広大な土台の上に、因数定理という極めて実用的な柱が建っているとイメージすると理解が淀みません。
