数学における最も根源的な演算である「足し算」と「掛け算」。小学校で習うこの2つの演算は、実は数学の深淵において極めて相性が悪く、複雑な関係性を持っています。掛け算の世界を分解する道具が「素因数分解」ですが、素因数分解された2つの数を足し算した瞬間、元の素因数の構造は跡形もなく壊れてしまうからです。
この足し算と掛け算の間に横たわる謎を定式化したものがABC予想です。1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーによって提示されたこの予想は、極めてシンプルな数式「a + b = c」から出発します。
互いに素（共通の約数を持たない）である正の整数 $a$ と $b$ を足して $c$ になるとき、$a, b, c$ に含まれるすべての異なる素数を掛け合わせた値（これを根基＝rad(abc) と呼びます）を作ります。ABC予想が主張するのは、「$c$ の値が rad(abc) よりも極端に大きくなるケースは、例外的なわずかな例を除いてほとんど存在しない」という法則です。
ABC予想が解決される最大のメリットは、その波及効果の絶大さにあります。もしこの予想が真であると確定すれば、350年以上数学者を悩ませた「フェルマーの最終定理」の別証明が一瞬で導き出せるほか、数論幾何学における数々の重要定理や難問が一挙に解決へと導かれます。数学者たちにとってABC予想は、まさに数論の地図を一変させる巨大な金鉱なのです。
