定期テストの後半や模試で差がつくのが、「$x$ の係数が奇数の場合」や「分数が含まれる場合」の平方完成です。ここで手が止まってしまう学習者のために、機械的に処理できるブレイクスルー手順を整理します。
例えば、$y = 2x^2 + 5x + 1$ という式を平方完成する場合、次の手順を踏みます。
- $x^2$ の係数で $x$ の項までを括る：
$y = 2\left(x^2 + \frac{5}{2}x\right) + 1$ - 括弧の中の $x$ の係数を「半分」にして2乗を作る：
$\frac{5}{2}$ の半分は $\frac{5}{4}$ なので、$2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2$ を作成。 - 余分に出てくる「2乗の係数倍」を引いて調整する：
展開した際に出てくる $2 \times \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 2 \times \frac{25}{16} = \frac{25}{8}$ を引きます。
$y = 2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 1$ - 定数項を通分して合算する：
$y = 2\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{17}{8}$
これにより、頂点 $\left(-\frac{5}{4}, -\frac{17}{8}\right)$、軸の方程式 $x = -\frac{5}{4}$、下に凸のグラフであることが明確になります。「半分にして2乗を引く」というフレーズを指差し確認しながら進めることが、計算ミスをゼロにする最良の防壁です。
