実際の試験問題では、単純な $a$ や $b$ ではなく、係数や文字が組み合わさった形で出題されます。入試や定期テストで頻出する3乗因数分解の典型パターンを解法ステップとともに見ていきましょう。
問題1：基本の数値パターン
【問題】 $x^3 - 27$ を因数分解せよ。
【解説・思考プロセス】
まず、$27$ を $3^3$ と見抜くことが第一歩です。$a=x, b=3$ として「同・逆・正」を適用します。
$$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3^2) = \mathbf{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$$
問題2：係数がついた応用パターン
【問題】 $8x^3 + 125y^3$ を因数分解せよ。
【解説・思考プロセス】
それぞれの項を「（単項式）の3乗」の形にまとめます。$8x^3 = (2x)^3$、$125y^3 = (5y)^3$ です。$a=2x, b=5y$ として公式に当てはめます。
$$8x^3 + 125y^3 = (2x + 5y)\{(2x)^2 - (2x)(5y) + (5y)^2\}$$ $$= \mathbf{(2x + 5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)}$$
※よくあるミス：第2項を $(2x)^2$ とせず $2x^2$ と書いてしまう誤答や、真ん中を $-10xy$ ではなく $-20xy$（2倍してしまう）にする誤答が多いため注意が必要です。
問題3：共通因数をくくり出す発展パターン
【問題】 $2a^4b - 16ab^4$ を因数分解せよ。
【解説・思考プロセス】
因数分解の鉄則は「まず共通因数でくくる」ことです。いきなり3乗公式を使おうとせず、$2ab$ を前に出します。
$$2a^4b - 16ab^4 = 2ab(a^3 - 8b^3) = 2ab\{a^3 - (2b)^3\}$$ $$= \mathbf{2ab(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)}$$
