円のベクトル方程式の骨格を成すのが、「中心と半径による表現」と「直径の両端による表現」だ。それぞれの導出過程には、純粋な幾何学的定理がそのまま代入されている。数式の行間にある意味を1つずつ解剖していこう。
1. 中心と半径のベクトル方程式の導出
中心を点 $A(\vec{a})$、半径を $r$（$r > 0$）とする円を考える。円周上の任意の点を $P(\vec{p})$ と置いたとき、幾何学的な条件は極めてシンプルである。「線分APの長さが常に $r$ であること」、すなわち $|\vec{\mathrm{AP}}| = r$ だ。
始点を原点 $O$ に統一して位置ベクトルで表すと、$\vec{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$ となる。したがって、求める円のベクトル方程式は以下の通り導かれる。
$|\vec{p} - \vec{a}| = r$
両辺を2乗した $|\vec{p} - \vec{a}|^2 = r^2$ の形も頻繁に用いられる。この式は、直感的に「中心 $\vec{a}$ から距離 $r$ にある点 $\vec{p}$ の集まり」を宣言しているに他ならない。
2. 直径の両端のベクトル方程式と内積の正体
一方、入試で劇的な威力を発揮し、かつ多くの学習者が丸暗記で済ませてしまうのが直径の両端型である。異なる2点 $A(\vec{a})$ と $B(\vec{b})$ を直径の両端とする円を考える。
中学幾何で学んだ重要な定理を思い出してほしい。「半円の弧に対する円周角は常に90°（直角）である」。つまり、円周上の点Pが点Aや点Bと一致しない限り、線分APと線分BPは常に直交する。数学において「直交」を代数的に処理する最強のツールこそが内積である。2つのベクトルが垂直ならば、その内積はゼロになる。すなわち、$\vec{\mathrm{AP}} \perp \vec{\mathrm{BP}} \iff \vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{\mathrm{BP}} = 0$ である。
位置ベクトルに変換すると、$\vec{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$、$\vec{\mathrm{BP}} = \vec{p} - \vec{b}$ であるから、次の公式が完成する。
$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$
ここで一つの疑問が生じる。「点Pが点Aまたは点Bと重なったときはどうなるのか？」という点だ。仮に点Pが点Aと一致した場合、$\vec{p} - \vec{a} = \vec{0}$（ゼロベクトル）となる。ゼロベクトルと他のいかなるベクトルの内積も数学的に0と定義されているため、点PがAやB上にある瞬間もこの方程式は完璧に成立する。一切の例外を排除した美しい構造がここにある。
