「公式を忘れたら試験で終わり」という不安を解消するには、公式の証明（自力導出）を一度自力で手を動かして再現しておくことが最強の保険になります。
高校数学 3乗の展開公式の証明
$(a + b)^3$ は、$(a + b)$ を3回掛け算したものです。中学で習った2乗の展開公式を利用して1段階ずつ計算します。
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2$
$= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$
同類項（$a^2b$ と $ab^2$）をまとめると、
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3$ を導出する場合は、上の公式の $b$ に「$-b$」を代入するだけで証明が完了します。$(-b)^1 = -b$、$(-b)^2 = +b^2$、$(-b)^3 = -b^3$ となるため、奇数乗の箇所だけがマイナス符号に変化することが論理的に理解できます。
3乗の因数分解公式の証明
因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の証明は、右辺を展開して左辺になることを確認するのが最も明快です。
$\text{（右辺）} = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$
$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
ここで中間の項（$-a^2b + a^2b$）および（$ab^2 - ab^2$）が綺麗に相殺されてゼロになります。
$= a^3 + b^3 = \text{（左辺）}$
途中の項が見事に打ち消し合って最初と最後の3乗だけが残る美しさを実感しておくと、数式への苦手意識は驚くほど軽減されます。
