ここでは、実際の大学受験 数学 二重根号 対策として、入試で頻出する典型的な3つの二重根号 計算問題 練習に取り組み、頭の中で瞬時に数値を特定する二重根号 整数解 テクニックを体得しましょう。
問題1：基本の和と積の発見
【問題】 $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$ を簡単にせよ。
【思考プロセス】
1. 内側のルートの前に「2」があることを確認。
2. 「足して8、掛けて15」となる2つの自然数を探す。
3. かけ算の候補：$1 \times 15$（足すと16でNG）、$3 \times 5$（足すと8で一致！）。
4. 数値は5と3。プラスなのでそのまま開く。
【解答】 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$
問題2：偶数係数とマイナス符号の融合
【問題】 $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。
【思考プロセス】
1. 係数が「6」なので、$6 = 2 \times 3$ と分解する。
2. 「3」をルートの中に入れる：$3^2 \times 2 = 18$。
3. 式は $\sqrt{9 - 2\sqrt{18}}$ と変形される。
4. 「足して9、掛けて18」となるペアを探す：6と3（$6+3=9$, $6 \times 3=18$）。
5. マイナス符号なので、必ず「大引く小」の順で配置する。
【解答】 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$
問題3：奇数係数（係数なし）の最高難度パターン
【問題】 $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。
【思考プロセス】
1. 内側のルートの中身は3（4の倍数ではない）、係数もない。
2. 全体をルートの中で「分母を2、分子を2倍」にする裏ワザを適用。
$$\sqrt{\frac{2(2 - \sqrt{3})}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$$ 3. 分子 $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ について「足して4、掛けて3」を探す：3と1。
4. 分子は $\sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1$。
5. 分母の $\sqrt{2}$ を有理化：$\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【解答】 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
【裏ワザ検算テクニック】
導き出した答えに不安がある場合、その答えをその場で2乗してみてください。たとえば問題3の解答 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ を2乗すると、分子は $(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}$、分母は $2^2 = 4$ となり、約分すると $2 - \sqrt{3}$ となって元の根号の中身と完全に一致します。この検算を行えば、ケアレスミスは100%防げます。
