高校数学の微積分から大学初年級の線形代数にかけて登場する「法線の求め方」には、決まった明快な手順が存在します。まずは2次元平面の曲線における法線方程式から整理していきましょう。
ある滑らかな関数 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きは、微分係数 $f'(a)$ で求められます。受験数学の標準的な公式集でも示されている通り、2つの直線が垂直に交わる条件は「2直線の傾きの積が $-1$ になること（$m \cdot m' = -1$）」です。したがって、$f'(a) \neq 0$ の場合、法線の傾き $m'$ は $- \frac{1}{f'(a)}$ と導かれます。これをもとに導出されるのが、以下の法線方程式です。
$$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a)$$
一方、空間座標やベクトルの幾何学において極めて重要になるのが法線ベクトルです。法線ベクトルとは、対象の平面や直線に対して垂直な向きを持つベクトルを指します。2次元の直線の方程式 $ax + by + c = 0$ において、その直線に垂直な法線ベクトル $\vec{n}$ は係数をそのまま抽出した $(a, b)$ として即座に求められます。これは、直線上の任意の方向ベクトル $\vec{d} = (-b, a)$ との内積を計算した際、内積の定義式から以下のように常にゼロになるためです。
$$\vec{n} \cdot \vec{d} = a(-b) + b(a) = 0$$
百度百科などの数学技術資料でも整理されている通り、3次元空間の平面方程式 $ax + by + cz = d$ においても、法線ベクトル公式は同様に係数から直接 $\vec{n} = (a, b, c)$ と構成できます。さらに3次元コンピュータグラフィックスのモデリング現場では、ポリゴンを構成する同一直線上にない2つの辺ベクトル $\vec{u}, \vec{v}$ の外積（クロス積 $\vec{u} \times \vec{v}$）を計算することで、そのポリゴンが向いている垂直な法線方向を瞬時に算出するアルゴリズムが採用されています。
