円錐の体積公式はなぜ3分の1？求め方と裏ワザ計算を徹底解説について見逃せない ポイントを分かりやすく解説いたします。

高校入試や中学受験の最難関校で頻出なのが、円錐の先端を水平に切り落とした「円錐台（えんすいだい）」の体積計算です。

解法1：大きな円錐から小さな円錐を引く（標準的解法）

最も安全かつ標準的な解法は、切り落とす前の「大きな円錐全体の体積」から、切り落とした「上部の小さな円錐の体積」を差し引く方法です。

1. 切り落とした小さな円錐の高さと、元の大きな円錐の高さを相似比から割り出す。
2. 大きな円錐の体積 $V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 H$ を計算する。
3. 小さな円錐の体積 $V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ を計算する。
4. $V_1 - V_2$ で円錐台の体積を求める。

解法2：相似比と体積比を利用する（スピード解法）

相似な立体の相似比が $a : b$ であるとき、体積比は $a^3 : b^3$ になります。

たとえば、小さな円錐と大きな円錐の相似比が $1 : 2$ の場合、体積比は $1^3 : 2^3 = 1 : 8$ となります。したがって、円錐台の体積は大きな円錐全体の「$\frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8}$」に相当します。この性質を利用すると、計算量を半減させることができます。