公式を丸暗記しようとすると、少し形が変わっただけで解法が見えなくなってしまいます。二重根号が解けない最大の理由は、その「仕組み」を数式として実感できていない点にあります。高校数学の数学I「数と式」で扱う平方根の性質を振り返りながら、まずは公式の正体を暴いていきましょう。
出発点は、誰もが知っている$( \sqrt{p} + \sqrt{q} )^2$ の展開公式です。ただし、$p > 0$ かつ $q > 0$ とします。
$$( \sqrt{p} + \sqrt{q} )^2 = p + 2\sqrt{pq} + q = (p + q) + 2\sqrt{pq}$$
この式の両辺の正の平方根を取ると、次の等式が導かれます。
$$\sqrt{(p + q) + 2\sqrt{pq}} = \sqrt{p} + \sqrt{q}$$
つまり、二重根号 $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ を外すとは、「足して $a$、掛けて $b$ になる2つの数 $p, q$ を見つける作業」そのものです。公式の証明自体は至ってシンプルであり、ルートの中身を $(\sqrt{p} + \sqrt{q})^2$ という完全平方式の形に持ち込んでいるだけだと理解できれば、過度な苦手意識は消えるはずです。
