カルダノの公式の導出において、数学者たちを最も震撼させたのが3次方程式の実数解と虚数解の振る舞い、そして「還元不能」と呼ばれる奇怪な現象でした。2次方程式と同様に、3次方程式 $y^3 + py + q = 0$ にも解の性質を決定づける判別式が存在します。
ルートの中身に着目し、判別式を $\Delta = - \left( 4p^3 + 27q^2 \right)$、あるいは簡略形として $D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$ と定義したとき、解の分岐は次のように明確に分かれます。
- $D > 0$ の場合：ルートの中身が正の実数となるため、1つの実数解と2つの共役な複素数解（虚数解）を持ちます。
- $D = 0$ の場合：重解を持ち、すべての解が実数となります。
- $D < 0$ の場合：3つの異なる実数解を持ちます。
ここで常識を覆す異常事態が発生します。グラフを描けば明らかなように、3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わり、「3つとも紛れもない実数解」である状況こそが、$D < 0$（ルートの中がマイナス）になるのです。
当時の数学界において、自乗してマイナスになる「負の数の平方根（虚数）」は、存在してはならない悪魔の数、実体のない幽霊とみなされていました。カルダノ自身も『アルス・マグナ』の中で、虚数の計算を「精神的拷問に等しい無意味な作業」と吐き捨てています。しかし、明らかな実数解が存在する方程式（例えば $x^3 - 15x - 4 = 0$、解の1つは明らかに $x = 4$）を公式に代入すると、どうしても $\sqrt{-121}$ のような虚数単位が現れてしまいます。
実数を求める計算の途中で、どうしても「存在しないはずの虚数の世界」を一度通過しなければ、実数の世界へ帰還することができない。この状態をラテン語で還元不能（casus irreducibilis）と呼びます。後にラファエル・ボンベリが複素数の加減乗除のルールを整備し、ルネ・デカルトやレオンハルト・オイラーらが概念を確立していく契機となったのは、他ならぬこの3次方程式の解の公式のバグを乗り越えるためでした。「実数を厳密に証明するために虚数が必要不可欠である」というパラドックスは、現代数学が複素平面へと飛躍する最大の転換点となったのです。
