数学IIの後半で差がつくのが、図形群を文字定数 $k$ で束ねて扱う「図形の束（そく）」の概念と、動点の条件を追跡する軌跡問題です。
2つの円の交点を通る図形
交わる2つの円 $C_1: x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2 = 0$ に対し、実数 $k$ を用いて作った以下の方程式を考えます。
$$(x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1) + k(x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2) = 0$$
この式は、$k \neq -1$ のときは2つの円の交点を通る図形（新たな円）を表し、$k = -1$ のときは2次の項が完全に相殺されて2つの円の交点を通る直線（共通弦の方程式）を表します。連立方程式を解いて面倒な交点座標を求める必要が一切ないため、計算ステップを大幅に短縮できます。
軌跡と円の方程式
「2定点 $A, B$ からの距離の比が $m : n$ （$m \neq n$）である点 $P$ の軌跡」を求める問題は、典型的な軌跡と円の方程式の融合例です。この軌跡は線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円を描き、数学史上でアポロニウスの円と呼ばれます。代数的に $P(x, y)$ と置いて条件式 $AP^2 : BP^2 = m^2 : n^2$ を整理することでも、同一の円の方程式が綺麗に導出されます。
