座標平面上の三角形の面積計算において、圧倒的な計算速度を誇るのが原点を通る三角形の面積公式です。頂点の1つが原点 $(0, 0)$ にあり、他の2点が $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ である場合、三角形の面積 $S$ は次の極めてシンプルな一行で完結します。
$$S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$$
「外側の座標の積」から「内側の座標の積」を引き、その差の絶対値を半分にするだけです。点と直線の距離公式や三平方の定理によるルート計算は一切必要ありません。
では、3つの頂点のいずれも原点にない一般的なケースはどう処理するのでしょうか。ここで登場するのが3点の座標から面積を求める裏ワザの真骨頂である「平行移動」の操作です。
例えば、3点 $A(1, 2)$、$B(5, 5)$、$C(2, 6)$ で作られる三角形を考えます。このままでは公式が使えませんが、三角形をその形状を保ったまま点Aが原点 $(0, 0)$ に重なるように全体を平行移動させます。各座標から $A$ の値 $(1, 2)$ を一括で減算するだけです。
・$A(1, 2) \rightarrow A'(0, 0)$
・$B(5, 5) \rightarrow B'(5 - 1, 5 - 2) = (4, 3)$
・$C(2, 6) \rightarrow C'(2 - 1, 6 - 2) = (1, 4)$
原点移動を完了した2点 $B'(4, 3)$ と $C'(1, 4)$ に対し、先ほどの公式を適用します。
$$S = \frac{1}{2} |4 \times 4 - 3 \times 1| = \frac{1}{2} |16 - 3| = \frac{13}{2} = 6.5$$
筆算を用いてもわずか10秒足らずで終了します。この解法は靴ひも公式の解き方（シューレースの公式、またはガウスの面積公式）の原点特化版であり、座標から三角形の面積を求める解き方詳細まとめの中でも最速の処理効率を誇ります。
