三角関数の合成 入試対策の総仕上げとして、典型的な三角関数の合成 練習問題に挑戦してみましょう。
【問題】
$0 \le \theta \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ の最大値・最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。
【解法ステップ】
ステップ1：合成の実行
点 $(\sqrt{3}, -1)$ をプロットします。
・原点からの距離：$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
・偏角：$\alpha = -\frac{\pi}{6}$
したがって、式は次のように合成されます。
$$y = 2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)$$
ステップ2：角の変域を確定する
$0 \le \theta \le \pi$ の各辺から $\frac{\pi}{6}$ を引きます。
$$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{5}{6}\pi$$
ステップ3：単位円でサインの動く範囲を特定する
$-\frac{\pi}{6}$ から $\frac{5}{6}\pi$ までの円弧をなぞると：
・最大となるのは $\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{2}{3}\pi$ のときで、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
・最小となるのは $\theta - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$ すなわち $\theta = 0$ のときで、$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
ステップ4：関数の値を計算する
・最大値：$2 \times 1 = \mathbf{2}$（$\theta = \frac{2}{3}\pi$）
・最小値：$2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \mathbf{-1}$（$\theta = 0$）
このように、合成から変域の評価までを一連のルーティンとして定着させることが完答への近道です。
