実際の試験問題では、$\sin$ への合成だけでなく、問題の指示や文脈に応じて $\cos$ への合成を求められる場面があります。それぞれの使い分け基準と、頻出である最大値・最小値問題の攻略手順を整理します。
$\sin$ 合成と $\cos$ 合成の使い分け基準：
基本的には、問題文で指定がない限り計算ミスの起こりにくい $\sin$ 合成を優先するのが鉄則です。しかし、問題全体が $\cos$ を主軸に展開されている場合や、物理の単振動の初期位相を $\cos$ 基準で揃えたい場合は $\cos$ 合成が威力を発揮します。
$\cos$ の加法定理は $\cos(\theta - \beta) = \cos\theta \cos\beta + \sin\theta \sin\beta$ です。これを利用する場合、点 $Q(b, a)$、すなわち $\cos\theta$ の係数を $x$ 座標、$\sin\theta$ の係数を $y$ 座標として座標平面上にプロットし、動径と $x$ 軸のなす角を $\beta$ と置くことで次のように変形できます。
$a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \beta)$
最大値・最小値を瞬時に求める4ステップ：
関数 $f(\theta) = a \sin\theta + b \cos\theta$（$0 \leqq \theta \leqq \pi$ など）の最大値・最小値を求める際は、以下の手順を厳格に守ることで計算ミスをゼロに抑えられます。
① 振幅と補助角の決定： 点 $(a, b)$ を座標平面に描き、$R = \sqrt{a^2 + b^2}$ と角 $\alpha$ を特定して $R \sin(\theta + \alpha)$ の形にする。
② 置き換えた角の範囲を算出： 与えられた $\theta$ の変域に $\alpha$ を加え、$\alpha \leqq \theta + \alpha \leqq \theta_{\text{max}} + \alpha$ の範囲を明確にする。
③ 単位円上で弧を図示： 算出した範囲を単位円上でなぞり、最も $y$ 座標が高くなる点（最大値）と低くなる点（最小値）を目視で確認する。
④ 最大・最小を与える $\theta$ を逆算： $\sin(\theta + \alpha)$ の値が $1$ や $-1$、あるいは端点となるときの $\theta$ を計算して解答をまとめる。
