四次方程式の解法が確立されたあと、数学者たちの視線は当然ながら「五次方程式」へと向かいました。しかし、フェラーリの快挙から250年以上もの間、誰一人として五次方程式の解の公式を見つけることはできませんでした。オイラーやラグランジュといった天才たちですら跳ね返され続けたのです。
その理由を暴いたのが、19世紀初頭の若き天才たちでした。1824年、ノルウェーのニールス・ヘンリック・アーベルがパオロ・ルフィニの不完全な証明を完成させ、「五次以上の代数方程式には、加減乗除とべき根（ルート）だけで表せる一般的な解の公式が存在しない」ことを証明しました。これがアーベル・ルフィニの定理です。
さらにフランスのエヴァリスト・ガロアは、方程式の背後に隠された「対称性」を研究するガロア理論を創直しました。ガロアのアプローチによって、五次方程式の解の公式が存在しない理由は極めて明快に説明されます。
- 方程式の「解の入れ替え」の対称性（群）：四次方程式の解の対称性は「4次対称群 $S_4$」で表されます。この群は、内部に特定の正規部分群の階段（列）を持っており、順を追って分解していくと素数次数の巡回群に還元されます（数学用語で「可解群」と呼びます）。だからこそ、四次までは根号を使って解を表現できます。
- 5次以上の対称性の崩壊：五次方程式の対称性である「5次対称群 $S_5$」の中には、交代群 $A_5$ という非可換単純群が含まれています。この構造はそれ以上細かく素数の階段に分解することができません（「非可換単純群」のため非可解）。
四次方程式は、解の入れ替え構造がギリギリ「可解」にとどまっている人類の代数的限界線だったのです。
