大学入試の空間図形や組み合わせ（場合の数）の分野で差がつく発展問題として、「正十二面体の対角線の本数」を求めさせる出題があります。教育現場の指導データによると、多くの生徒が「どの線を対角線とみなすか」の定義でつまずきます。
多面体における「対角線」とは、同一面上にない異なる2つの頂点を結ぶ線分（立体の内部を貫く線分）を指します。計算手順は以下の通りです。
- 全頂点から2点を選ぶ組み合わせ：
頂点が20個あるため、2点の選び方は $_{20}\mathrm{C}_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ 通り。 - 立体の「辺」を除く：
190本の中には立体表面の「辺（30本）」が含まれるため除外します（$190 - 30 = 160$）。 - 各面上の「面の対角線」を除く：
正五角形1面につき、対角線は $_5\mathrm{C}_2 - 5 = 10 - 5 = 5$ 本引けます。それが12面あるため、面上の対角線は合計「5 × 12 ＝ 60本」存在します。 - 立体の内部対角線を算出：
$$190 - 30 - 60 = 100\text{本}$$
頂点の数（20個）を正確に把握していないと、最初の組み合わせ計算 $_{20}\mathrm{C}_2$ から崩壊してしまいます。基礎である「頂点の数」を正しく導けることが、発展問題攻略の絶対的な前提条件となります。
