数学IIの平面幾何を超えて、数学Cや大学数学で扱う3次元（空間座標）における点と直線の距離はどうなるのでしょうか。「平面の公式を拡張して、分母を $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ にすればよいのでは？」と誤解する人が非常に多いのですが、それは点と平面の距離の公式になってしまいます。
3次元空間において、直線は一本の方程式 $ax + by + cz + d = 0$ では表せません（これは平面を表す方程式です）。空間内の直線は「通過する1点と方向ベクトル」によって定義されます。
空間における点 $A$ と、点 $P$ を通り方向ベクトル $\vec{v}$ を持つ直線 $L$ との距離 $d$ を求めるには、外積（クロス積）または三平方の定理を活用します。代表的なアプローチは以下の2通りです。
1. ベクトルの内積と正射影を利用する方法：
直線上の任意の点を $H$ とし、$\vec{AH} \perp \vec{v}$ となる垂線の足 $H$ の座標をパラメータ表示から内積 $= 0$ で特定して $|\vec{AH}|$ を計算する。
2. ベクトル外積を利用する美しい導出：
点 $A$ と直線上の点 $P$ を結ぶベクトル $\vec{PA}$ と方向ベクトル $\vec{v}$ が張る平行四辺形の面積を考えると、高さにあたる距離 $d$ は次式で一発で求まります。
$$d = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$
2次元では法線ベクトルが使えたのに対し、3次元空間では直線の方向ベクトルと外積が主役に躍り出ます。次元が上がったときに公式がどう変化するのかを対比して捉えておくと、幾何学の理解が一気に深まります。
