正二十面体（Regular Icosahedron）は、20面の合同な正三角形、30本の辺、そして12個の頂点で構成される凸正多面体です。この立体を辺に沿って切り開き、重なりなく1枚の平面上に広げた「展開図」が何通り作れるかという命題は、長年計算幾何学における興味深いテーマでした。
1979年に数学者クリスチャン・ヒッペンマイヤー（Christian Hippenmeyer）が発表し、その後のコンピュータ解析によって確定された正二十面体の展開図の全種類パターンは「43,380通り」にのぼります。サイコロでおなじみの正六面体（立方体）の展開図がわずか11通り、正八面体が11通りであることを考慮すると、面数が20に増えるだけで組み合わせの数が天文学的に跳ね上がることが分かります。
ここで興味深いのは、正五角形12面で構成される正十二面体の展開図のバリエーションも、全く同数の43,380通りである点です。互いの面の中心を頂点として結ぶと相手の立体が浮かび上がる「双対多面体（Dual Polyhedron）」の関係にある両者は、トポロジー（位相幾何学）の観点からも表裏一体の美しい対称性を有しています。
4万通り以上存在する展開図ですが、工作用紙に印刷して実際に組み立てるとなると話は別です。分岐が多く枝分かれした複雑な展開図は、糊付けの難易度が極端に高く、初心者には不向きです。工作や教育現場で広く用いられているのは、正三角形が横に上下交互に並んだ「帯状（ストリップ型）展開図」であり、視覚的にも構造的にも最も破綻しにくい基本形とされています。
