ルート同士の掛け算における最も基本的かつ絶対的な原則は、「外は外同士、中は中同士で掛け合わせる」というルールです。中学3年数学平方根で登場する根号の計算公式は、次のように定義されています。
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad (a > 0, b > 0)$$
$$m\sqrt{a} \times n\sqrt{b} = (m \times n)\sqrt{a \times b}$$
たとえば $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ であれば、根号の中身同士を掛け算して $\sqrt{6}$ となります。一方、$2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ のようにルートの外側に係数がついている場合は、外側の数字である「$2 \times 4 = 8$」と、内側の数字である「$\sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$」をそれぞれ独立して計算し、最終的に $8\sqrt{15}$ と導き出します。
ここで疑問になりやすいのが「ルートと整数の掛け算」です。たとえば $3 \times \sqrt{5}$ を計算する場合、整数である $3$ は根号の外の数字とみなすため、$3\sqrt{5}$ と表記します。決して $3$ をそのままルートの中に入れて $\sqrt{15}$ にしてしまわないよう、ルートの外と中を厳密に区別する意識が欠かせません。
