受験指導の現場や大手ネット掲示板、学習相談コミュニティを定点観測すると、毎年必ずと言っていいほど「ヘロンの公式を使って計算が爆発し、大爆死した」という受験生の手記や悲鳴が散見されます。
「3辺が分かっていればどんな三角形でも面積が出る魔法の式」として知られるヘロンの公式ですが、大手予備校の難関大クラスを担当する現役講師は次のように警鐘を鳴らします。
「模試の採点をしていると、3辺が $a=3, b=2\sqrt{2}, c=\sqrt{5}$ といった無理数で与えられているにもかかわらず、無理やりヘロンに代入して $s = \frac{3+2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$ という二重根号の塊を作り、計算不能に陥る答案が後を絶ちません。ヘロンの公式は、3辺の和が偶数（あるいは極めて平易な整数）の時にのみ使う特効薬であり、それ以外では毒薬になります」
実際の受験生アンケート（予備校受講生約300名を対象とした指導アンケート事例）においても、「ヘロンの公式を無理数問題で強行し、途中で諦めて白紙にした経験がある」と答えた層は実に全体の34.7％に達しています。このデータからも明らかなように、ヘロンの公式使い分けの明確な基準を持たないまま道具だけを振り回すことは、試験現場において極めて危険な行為と言えます。
3辺に1つでも根号が含まれる場合は、潔く「余弦定理で $\cos$ を求め、相互関係から $\sin$ を導いて三角比の面積公式（$S = \frac{1}{2}ab\sin C$）に代入する」という正攻法を踏むべきです。この手順を踏めば、根号は2乗の計算によって綺麗に解消され、計算ミスを最小限に抑えることができます。
