まずは基本となる「正の約数の個数の公式」をおさらいします。正の整数 $N$ を素因数分解し、$N = p^a \times q^b \times r^c \dots$（$p, q, r$ は互いに異なる素数、$a, b, c$ は自然数）の形に表したとき、正の約数の個数は次の計算式で一瞬にして求められます。
【正の約数の個数の公式】
個数 ＝ $(a + 1)(b + 1)(c + 1)\dots$
極めてシンプルですが、誰もが疑問を抱くのが「約数の個数なぜ1を足すのか」という点です。この疑問を解消するための数学的証明は、組み合わせの「積の法則（樹形図）」にあります。
例えば、ある数 $N$ が素数 $p$ を $a$ 個持っているとします（$p^a$）。このとき、$N$ の約数を作るときに使える素数 $p$ の個数は、次のいずれかになります。
- $p$ を 0個 使う（すなわち $p^0 = 1$）
- $p$ を 1個 使う（$p^1$）
- $p$ を 2個 使う（$p^2$）
- ……
- $p$ を $a$個 使う（$p^a$）
ここで数えてみると、1個から $a$個までの「$a$ 通り」に加えて、「1個も使わない（0個使う）」という1通りが存在することが分かります。したがって、素数 $p$ の選び方は全部で「$a + 1$ 通り」生じるわけです。
同様に、素数 $q$ についても $0$個から $b$個までの「$b + 1$ 通り」、素数 $r$ についても「$c + 1$ 通り」の選び方があります。これらを掛け合わせることで、あらゆる素因数の組み合わせが網羅され、漏れも重複もなくすべての約数が構成されます。これが「指数に1を足して掛ける」ことの明快な論理的証明です。
