公式の成り立ちを理解し、初見の関数でも自力で展開式を導出できるようになるためのマクローリン展開の計算手順詳細まとめを伝授します。確実な答案作成には、機械的かつ厳密なアルゴリズムの習得が欠かせません。
展開の一般式は以下の通り定義されます。
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots$$
解法を身につける3つの黄金ステップ
- ステップ1（微分の反復）：与えられた関数 $f(x)$ を $1$ 階、 $2$ 階、 $3$ 階、 $n$ 階と順次微分し、導関数の一般形を導き出します。
- ステップ2（高階微分係数の求め方）：求めた導関数に $x = 0$ を代入し、各次数の係数となる高階微分係数の求め方を確立します。ここで多くの項が $0$ に消えるか、規則的な数列になるかを見極めます。
- ステップ3（公式への代入と階乗処理）：一般項 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ に数値を流し込み、必要に応じて級数記号 $\sum$ でまとめます。
【実践例題】$f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開を導出せよ
多くの演習書で定番として扱われるマクローリン展開の例題と解き方をトレースしてみましょう。
まず、連続して微分を実行します。
$f(x) = \log(1+x) \implies f(0) = \log 1 = 0$
$f'(x) = (1+x)^{-1} \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -(1+x)^{-2} \implies f''(0) = -1$
$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} \implies f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4} \implies f^{(4)}(0) = -6$
ここから一般の $n$ 階微分係数の規則性を抽出すると、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ であることが判明します。これを展開式に当てはめると、分子の $(n-1)!$ と分母の $n!$ が美しく約分されます。
$$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$
したがって、求める展開式は以下の形に落ち着きます。
$$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$
厳密なマクローリン展開の証明手順においては、有限項で打ち切った多項式と元の関数との差をロルの定理やコーシーの平均値の定理を用いて評価し、後述する剰余項が $n \to \infty$ でゼロに収束することを示す論法が採られます。
