内接円の半径をマスターした学習者が次に直面するのが、大学入試の空間図形分野で頻出する「四面体に内接する球の半径」の問題だ。次元が2次元から3次元へ上がった途端に思考停止に陥る受験生が多いが、使われている原理は平面と完全に同一である。
四面体 $ABCD$ の内部に中心 $O$、半径 $r$ の球が内接しているとする。このとき、四面体の各面（4つの三角形 $\triangle BCD, \triangle ACD, \triangle ABD, \triangle ABC$）は、内接球に接しているため、球の中心 $O$ から各面へ下ろした垂線の長さはすべて等しく、半径 $r$ となる。
四面体全体の体積を $V$、4つの面の面積をそれぞれ $S_1, S_2, S_3, S_4$ と置くと、四面体 $ABCD$ は中心 $O$ を頂点とする4つの三角錐へと分割される。
$$V = \frac{1}{3}r S_1 + \frac{1}{3}r S_2 + \frac{1}{3}r S_3 + \frac{1}{3}r S_4$$
$$V = \frac{1}{3}r(S_1 + S_2 + S_3 + S_4)$$
平面の公式 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ において、係数「$\frac{1}{2}$」が錐体の体積公式「$\frac{1}{3}$」へ変化し、「周長（$a+b+c$）」が「全表面積（$\sum S_i$）」へ拡張されただけであることが明快に理解できるはずだ。難関大入試における空間ベクトルの難問も、この体積分割の視点を持つだけで立式の難易度が劇的に低下する。
