座標平面上にプロットされた「$x^2+y^2=1$」の正体は、原点を中心とする半径1の円（単位円）です。なぜこの式が円を描くのかは、中学数学で習う「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」を振り返ると一瞬で腑に落ちます。
原点$(0, 0)$と、平面上の任意の点$(x, y)$の間の距離$r$を考えてみましょう。直角三角形の斜辺の長さの公式より、次の関係が成り立ちます。
$$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = r \quad \Longrightarrow \quad x^2 + y^2 = r^2$$
これが一般的な$x^2+y^2=r^2$の円の方程式です。ここで半径$r=1$を代入した形こそが「$x^2+y^2=1$」であり、「原点からの距離が常にぴったり1である点$(x, y)$の集合」を意味しています。図形的な定義をそのまま代数式に落とし込んだ美しい形なのです。
