記述試験や誘導形式の穴埋め問題では、裏ワザだけでなく通常の式変形を正確にやり切るスキルも求められます。分数や奇数係数が出てきても絶対にミスしない「型」を身につけましょう。
平方完成の基本公式まとめ
一般形 \( y = ax^2 + bx + c \) を標準形 \( y = a(x-p)^2 + q \) へ変形する手順は、以下の通り体系化されます。
$$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$
頂点の座標は \( \left(-\frac{b}{2a}, \; -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right) \)、軸の方程式は \( x = -\frac{b}{2a} \) となります。
係数が奇数・分数のときの安全な3ステップ変形法
複雑な式であっても、以下の手順を固定化することでミスの発生率をゼロに近づけることができます。
- 係数で最初の2項だけをくくる（定数項は触らない）：
例：\( y = 3x^2 + 5x - 2 \implies y = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x\right) - 2 \) - カッコ内を「一次の係数の半分」にして2乗を作る：
\( \frac{5}{3} \) の半分は \( \frac{5}{6} \) なので、\( 3\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 \) を作る。 - 「（半分の2乗）× 先頭の係数」を後ろから引いて定数項とまとめる：
引き算する値は \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times 3 = \frac{25}{36} \times 3 = \frac{25}{12} \)。
したがって、\( y = 3\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{12} - 2 = 3\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{49}{12} \)。
このように「定数項を最後まで独立させておく」ことと「引く数に先頭の係数を掛けるステップを個別化する」ことが、高校数学における平方完成の最大のコツです。
