和積公式は、すべて「加法定理」からダイレクトに作られています。証明というほど大げさなものではなく、計算用紙の端に2行書くだけで誰でも5秒〜10秒程度で再現できます。この「和積公式 作り方 秒殺テクニック」を押さえておけば、ど忘れの恐怖から完全に解放されます。
まず、すべての土台となる加法定理の基本形を思い出します。
① sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
② sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
この2つの式を辺々足し合わせると、後ろの「cos α sin β」が相殺されて消えます。
sin(α + β) + sin(α - β) = 2 sin α cos β
これが「積和の公式」です。ここから和積へ進むステップは1つだけ。左辺の角度をスッキリさせるために、文字を置き換えます。
α + β = A、α - β = B と置きます。この連立方程式を足して2で割れば α = (A + B) / 2、引いて2で割れば β = (A - B) / 2 と求まります。これをそのまま代入するだけで、1つ目の和積公式が完成します。
cosの和や差を導きたいときは、cosの加法定理（cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β）を同様に足し引きするだけです。試験中に公式の細部が怪しくなったら、頭の中で「加法定理を並べて足した形」を一瞬イメージするか、余白に1行書く癖をつけておけば、一切の度忘れを排除できます。
