ここからは、実際の $3 \times 3$ 行列を例題として、逆行列を求める最短かつ安全なステップを解説します。
次の行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$
ステップ1：行列式 $|A|$ を計算する
まずは行列式がゼロでないことを確認します。サラスの公式、または0が含まれる1列目に沿った余因子展開を利用します。
$$|A| = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 0 + 5 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = -24 + 5 \cdot (8 - 3) = -24 + 25 = 1$$
$|A| = 1 \neq 0$ であるため、逆行列が存在することが確認できました。
ステップ2：9つの余因子 $C_{ij}$ を算出する
各成分について、行と列を除いた $2 \times 2$ 小行列式を求め、チェッカーボードの符号を掛けます。
- $C_{11} = +(0 - 24) = -24$
- $C_{12} = -(0 - 20) = 20$
- $C_{13} = +(0 - 5) = -5$
- $C_{21} = -(0 - 18) = 18$
- $C_{22} = +(0 - 15) = -15$
- $C_{23} = -(6 - 10) = 4$
- $C_{31} = +(8 - 3) = 5$
- $C_{32} = -(4 - 0) = -4$
- $C_{33} = +(1 - 0) = 1$
ステップ3：余因子を行列に並べ、転置して余因子行列 $\widetilde{A}$ を作成する
算出した余因子をそのまま並べた行列を作り、それを転置します。
$$\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$$
これを転置（行と列を反転）させたものが求める余因子行列です。
$$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
ステップ4：公式に代入して逆行列を導出し、検算する
今回は $|A| = 1$ のため、余因子行列がそのまま逆行列になります。
$$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
検算として、$A$ の第1行 $(1, 2, 3)$ と $A^{-1}$ の第1列 $(-24, 20, -5)^T$ の内積を計算してみます。
$1 \cdot (-24) + 2 \cdot 20 + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1$ となり、単位行列の (1, 1) 成分と一致することが即座に確認できます。
