中学数学の教科書に記載されている厳密な論理証明も、非常にシンプルで美しい構造を持っています。この証明を理解する鍵は、「1つの頂点における内角と外角の和が180度になる」という平角の性質です。
n角形において、すべての頂点における「内角＋外角」の総和を計算すると、頂点がn個あるため次の式が成り立ちます。
（すべての頂点における内角と外角の合計）＝ 180° × n
ここから、すでに確立されている「多角形の内角の和の公式」である 180° × (n − 2) を差し引くことで、外角の和だけを導き出します。
外角の和 ＝ 180° × n − 180° × (n − 2)
＝ 180°n − (180°n − 360°)
＝ 180°n − 180°n + 360°
＝ 360°
計算過程において文字「n」が完全に相殺され、定数である360度だけが残ります。この代数的な処理によって、五角形の外角の和であっても、六角形の外角の和であっても、あるいは1万角形であっても、nの値に左右されず常に360度になることが数学的に証明されます。
