公式の丸暗記は試験本番の緊張下でド忘れを引き起こす最大の要因です。ここでは、数学IIIの部分積分を使わずに、数学II 微分積分の標準的な式変形のみを用いて公式を導出するプロセスを解説します。
3次関数と接線の面積公式の導出
3次関数 $f(x) = ax^3 + \dots$ と、その接線 $g(x)$ が $x = \alpha$ で接し、$x = \beta$ で交わるとき、差の関数は因数定理より以下のように因数分解されます。
$$f(x) - g(x) = a(x - \alpha)^2(x - \beta)$$
囲まれた面積 $S$ は、定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)| dx$ で求められます。ここで、$x - \beta = (x - \alpha) - (\beta - \alpha)$ と分解して積分を実行します。
$$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 \{(x - \alpha) - (\beta - \alpha)\} dx = \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ (x - \alpha)^3 - (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2 \right\} dx$$
これを積分すると、
$$\left[ \frac{(x - \alpha)^4}{4} - (\beta - \alpha)\frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{(\beta - \alpha)^4}{4} - \frac{(\beta - \alpha)^4}{3} = -\frac{(\beta - \alpha)^4}{12}$$
面積は常に正の値であるため、最高次の係数の絶対値 $|a|$ を掛けることで、見事に $S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$ が導出されます。この「$(x - \alpha)$ の塊を作って展開する」変形法は、難関大記述でもそのまま加点対象となる極めて実戦的な記述テクニックです。
