平方根の発展形として高校数学で必ず立ちはだかるのが、ルートの中にさらにルートが入った「二重根号」です。一見すると複雑怪奇に見える式ですが、これも仕組みさえ分かればパズルのように解くことができます。
二重根号の外し方の基本公式は、以下の通りです（$a > b > 0$ とする）。
$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
なぜこの公式が成り立つのかというと、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ を展開すると、$(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ となるからです。つまり、根号の中身が「ある式の2乗」になっているため、大外のルートが外れるという仕組みです。
この二重根号の外し方を実践する際のキーポイントは、「内側のルートの前に必ず『2』を作ること」、そして「足して前、掛けて後ろになる2つの数（$a$ と $b$）を見つけること」の2点に尽きます。
【実践例：$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$ を外す手順】
1. 内側のルートの前に「2」があることを確認する。
2. 「足して8、掛けて15」になる2つの正の自然数を探す。
$\rightarrow$ 該当するペアは「5」と「3」です（$5 + 3 = 8$, $5 \times 3 = 15$）。
3. 大きい方を前にしてルートをつけて並べる。
$\rightarrow$ 答えは $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ となります。
もし内側のルートの前が「4」などになっている場合は、余分な2をルートの中に入れて（$2^2=4$ として掛け合わせる）調整し、逆に係数がない場合は全体に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ を掛けて無理やり「2」を作り出すテクニックを使います。マイナスの二重根号では、値が負にならないよう必ず「大きい数 $-$ 小さい数」（$\sqrt{a} - \sqrt{b}$）の順序で書くことが厳格な鉄則です。
