この定理の本質を掴む最短ルートは、角の二等分線の定理 証明のメカニズムを自分の手で再現することです。証明には複数の手法が存在しますが、最も明快で教育的効果が高いのが「角の二等分線 補助線」を用いた平行線の作図です。
証明の手順は驚くほど合理的です。頂点$C$を通り、角の二等分線$AD$に平行な直線を引き、辺$BA$の延長線との交点を$E$とおきます。
このとき、平行線の性質から以下の2つの関係が即座に導かれます。 1. 平行線の同位角は等しいため、$\angle BAD = \angle AEC$ 2. 平行線の錯角は等しいため、$\angle CAD = \angle ACE$
条件より$AD$は$\angle A$の二等分線であるため、$\angle BAD = \angle CAD$です。したがって、$\angle AEC = \angle ACE$となり、2つの底角が等しいことから三角形$ACE$は$AC = AE$の二等辺三角形になります。
ここで三角形$BCE$全体に目を向けると、$AD \parallel EC$であるため、中学校で習う「平行線と線分の比の性質」より、$BA : AE = BD : DC$が成り立ちます。そして、$AE = AC$を代入すれば、見事に$AB : AC = BD : DC$が導出されます。
「平行線を1本引き、二等辺三角形を浮かび上がらせる」。このカラクリを理解した学習者は、公式を忘れることすら不可能になります。公式とは無から生じた呪文ではなく、平行線と二等辺三角形が織りなす必然の帰結です。
