高校入試の数学で最も差がつく領域は、間違いなく「空間図形」です。立体を平面に射影し、直角三角形をいかに抽出できるかが勝負の分かれ目となります。
まず、縦 $a$、横 $b$、高さ $c$ の直方体において、空間を斜めに貫く直方体の対角線 長さ 公式は外せません。
$L = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
底面の対角線 $\sqrt{a^2 + b^2}$ を一度求めてから立体の直角三角形に三平方の定理を重ねる二段階の手順を、ルート内に 3 辺の 2 乗を合計するだけの 1 ステップに短縮します。立方体（1辺 $a$）であれば $L = \sqrt{3} a$ と瞬時に導出可能です。
さらに高得点争いで頻出するのが、空間図形 三平方の定理 最短距離を問うトラップ問題です。円柱の底面から側面に糸を巻き付けて上面の真上（あるいは反対側）の点に至る最短距離や、直方体の表面を這う動線の長さを求める問題が該当します。
「空間の最短距離は、必ず切り開いた展開図上で直線を描く」という鉄則を徹底してください。円柱の側面であれば長方形を描き、横の長さ（底面の円周 $2\pi r$）と縦の長さを2辺とする直角三角形の斜辺として計算します。直方体の表面を複数の面にまたがって進む場合、どの面を経由するかによって「複数の展開図パターン」が生じ得ます。上位校の入試では、2通りの展開図を描かせてそれぞれの斜辺の長さを比較させ、真の最短距離を選ばせる罠が頻繁に仕掛けられます。公式のみに頼らず、「展開図上の線分」へと帰着させる視覚化力が極めて重要です。
