受験生の解答用紙を精査すると、極めて多くの失点が見られる典型的な落とし穴が「弦の長さを求める問題」です。円と直線が交わってできる線分（弦）の長さを問われた際、愚直に2つの共有点の座標 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ を解の公式で求め、2点間の距離の公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ に代入しようとする生徒が後を絶ちません。
この手順を踏むと、解の公式に含まれる二重根号に近い複雑な数値を二乗して引き算する羽目になり、計算ミスを犯す確率は跳ね上がります。場合によっては解と係数の関係を利用して $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ を駆使するテクニックもありますが、それでも計算行数は膨らみます。
幾何的な本質に立ち返れば、円の中心から弦に引いた垂線は、弦を垂直に2等分するという中学校で習う基本性質が存在します。中心、垂線の足、交点の3点が形成する直角三角形において、斜辺は円の半径 $r$、1辺は中心と直線の距離 $d$ です。したがって、三平方の定理により弦の半分の長さは $\sqrt{r^2 - d^2}$ と表せます。求める弦の長さ $L$ は常に $2\sqrt{r^2 - d^2}$ で完結します。座標など一切求めず、わずか2行で正解に到達できるこの手法を知っているかどうかが、数学IIの得点力における決定的な格差を生み出しています。
