ルート2は、分数の形（$\frac{p}{q}$：$p, q$ は互いに素な整数）で表すことができない「無理数」です。この事実は、古代ギリシャのピタゴラス学派において発見され、当時の数学観を揺るがす大事件となりました。高校数学の教科書にも必ず掲載されているルート2 無理数の証明（背理法）を簡潔におさらいします。
【背理法による証明の流れ】
1. $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定し、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ と置く。
2. 両辺を2乗して分母を払うと、$2q^2 = p^2$ となる。
3. 左辺が2の倍数なので $p^2$ も2の倍数、すなわち $p$ 自身も偶数（$p = 2k$）である。
4. これを代入すると $2q^2 = (2k)^2 = 4k^2 \implies q^2 = 2k^2$ となり、$q$ も偶数であることが判明する。
5. $p$ と $q$ がともに偶数となり、「$p$ と $q$ は互いに素である」という初期設定と矛盾する。
6. したがって、仮定は誤りであり、$\sqrt{2}$ は無理数であると証明される。
また、無理数であるルート2の循環しない美しさを表現する手法として名高いのが連分数展開 ルート2の構造です。
$$\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \dots}}}}$$
このように「2」が永遠に連なる規則的な分数構造を持ちます。途中で打ち切ることで、$\frac{3}{2} = 1.5$、$\frac{7}{5} = 1.4$、$\frac{17}{12} \approx 1.4166$、$\frac{41}{29} \approx 1.41379$、$\frac{99}{70} \approx 1.414285$ と、極めて精緻な有理数近似列が自然に導出される点も数学愛好家を惹きつける理由です。
