高校数学 数学I 実数の単元で登場する二重根号は、単なる計算パズルではなく、実数の平方根に関する厳密な定義に基づいています。まずはすべての土台となる基本公式を確認し、なぜこの変形が成り立つのかを数式で証明します。
二重根号を外すための基本公式は以下の通りです。
$a > 0$, $b > 0$ のとき
① $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
② $a > b > 0$ のとき $\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
この二重根号 公式 証明は、極めてシンプルです。中学数学で学んだ展開公式 $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$ を計算してみると、そのカラクリがはっきりと見えてきます。
正の実数 $a, b$ に対して、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ を展開すると次のようになります。
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$
両辺はともに正の値であるため、全体の平方根（正のルート）をとると、左辺の2乗が外れて公式①が得られます。
$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} + \sqrt{b}| = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
同様にマイナスの場合も、$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となります。ここで最も重要なのが、$a > b > 0$ という前提条件です。実数の平方根記号 $\sqrt{X}$ は定義上「必ず0以上の値」を意味するため、中身の2乗を外す際には絶対値記号が外れて $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$ となる順序を守らなければなりません。
つまり、二重根号を外す作業とは「足して前、掛けて後ろ（ルートの中）になる2つの正の数 $a, b$ を探すゲーム」に他なりません。
