テストや入試問題では、意地悪く「対角線の長さが片方しか書かれていない」「対角線が一切与えられていない」というパターンが出題されます。対角線がわからない場合でも、与えられた条件に応じて以下の3つの数学的手法を用いれば即座に突破できます。
解法1：1辺と「片方の対角線」が判明している場合（三平方の定理）
中学数学で学ぶ「ピタゴラスの定理（三平方の定理）」を使えば、対角線の長さの求め方は簡単です。ひし形の対角線は垂直に交わり、互いを2等分します。
例えば、1辺の長さが $5\text{ cm}$ で、横の対角線が $8\text{ cm}$ のひし形があるとします。
- ひし形を4分割した直角三角形を取り出すと、斜辺は $5\text{ cm}$、底辺は横の対角線の半分で $4\text{ cm}$ となる。
- 三平方の定理（$a^2 + b^2 = c^2$）より、残る高さ $x$ は $x^2 + 4^2 = 5^2 \rightarrow x^2 + 16 = 25 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = 3\text{ cm}$。
- 縦の対角線の全長は $3 \times 2 = 6\text{ cm}$ と判明する。
- 公式に当てはめると、面積は $8 \times 6 \div 2 = \mathbf{24\text{ cm}^2}$ と求められる。
解法2：1辺の長さと「内角（角度）」が判明している場合（高校数学：三角比）
高校の数学Iで習う三角比を使えば、対角線の長さを一切計算せずにsin三角比面積計算で一撃算出できます。
ひし形の1辺の長さを $a$、ひとつの内角を $\theta$ と置くと、ひし形は2つの合同な三角形（2辺が $a$ で挟む角が $\theta$）を貼り合わせたものと見なせます。三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2} a b \sin\theta$ を2倍にすることで、以下の美しい公式が導かれます。
【ひし形の三角比による面積公式】$$\text{面積 } S = a^2 \sin\theta$$ （$a$：ひし形の1辺の長さ、$\theta$：1つの内角）
例えば、1辺が $6\text{ cm}$ で、鋭角が $30^\circ$ のひし形の場合、面積は $6^2 \times \sin 30^\circ = 36 \times 0.5 = \mathbf{18\text{ cm}^2}$ となり、わずか5秒で計算が完結します。
