ブラーマグプタの公式で四角形の面積を一瞬計算！共通テスト裏ワザと証明に関する深掘り記事を分かりやすく解説します。関心のある方は必見です。

実際の試験問題でどれほどの威力を持つのか、具体的な例題で確認してみましょう。

【例題】円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1, BC=2, CD=4, DA=3$ のときの面積 $S$ を求めよ。

通常の解法であれば、対角線BDを引き、余弦定理を2回立てて $\cos B$ を求め、$\sin B$ を算出し、2つの三角形の面積を求めて合算します。手際よく解いても2〜3分は費やす計算量です。

一方、ブラーマグプタの公式を使った解法は以下の通りです。

1. まず半周の長さ $s$ を計算：$s = \frac{1+2+4+3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
2. 各辺を $s$ から引く：
   • $s-a = 5-1 = 4$
   • $s-b = 5-2 = 3$
   • $s-c = 5-4 = 1$
   • $s-d = 5-3 = 2$
3. 掛け合わせてルートをつける：$S = \sqrt{4 \times 3 \times 1 \times 2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

余弦定理も三角比の相互関係も一切記述することなく、暗算に近い感覚で3行で正解に到達しました。

【忘れにくい覚え方のコツ】
ヘロンの公式の形（$s$ から各辺を引く）をベースにし、「先頭の単独の $s$ が、4つ目の引き算 $(s-d)$ に変わっただけ」と覚えるのが最も確実です。「4辺の和の半分を出して、各辺を引いた4つの数値を掛けてルート」とリズムで頭に入れておきましょう。