各次元における具体的な計算ステップを整理します。次元が上がるにつれて計算量は指数関数的に増大するため、各段階で取るべきアプローチは大きく異なります。
1. 2×2行列の逆行列と余因子の関係
高校数学でも馴染み深い2次の公式は、余因子行列の定義をそのまま2次元に適用したものです。
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
各成分の余因子を計算すると、$\widetilde{a}_{11} = d$、$\widetilde{a}_{12} = -c$、$\widetilde{a}_{21} = -b$、$\widetilde{a}_{22} = a$ となります。これを行列に並べて転置したものが余因子行列です。
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} \widetilde{a}_{11} & \widetilde{a}_{21} \\ \widetilde{a}_{12} & \widetilde{a}_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
行列式 $\det(A) = ad - bc \neq 0$ で割ることで、よく知られた $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ が導かれます。
2. 3×3行列の確実な解法ステップ
3次正方行列においてミスを極限まで減らすためには、次の4つのステップを分離して実行するのが鉄則です。
【例題】次の行列 $A$ の逆行列を求めよ。
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
ステップ1：行列式 $\det(A)$ の計算
サラスの公式または第1行での余因子展開を行います。
$$\det(A) = 1 \cdot (1\cdot 1 - 1\cdot 0) - 2 \cdot (0\cdot 1 - 1\cdot 2) + 0 = 1(1) - 2(-2) = 1 + 4 = 5$$ $\det(A) = 5 \neq 0$ より、逆行列が存在することを確認します。
ステップ2：9つの余因子 $\widetilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}|$ の算出
符号パターン $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$ に従い、小行列式を求めます。
$\widetilde{a}_{11} = + (1 - 0) = 1, \quad \widetilde{a}_{12} = - (0 - 2) = 2, \quad \widetilde{a}_{13} = + (0 - 2) = -2$
$\widetilde{a}_{21} = - (2 - 0) = -2, \quad \widetilde{a}_{22} = + (1 - 0) = 1, \quad \widetilde{a}_{23} = - (0 - 4) = 4$
$\widetilde{a}_{31} = + (2 - 0) = 2, \quad \widetilde{a}_{32} = - (1 - 0) = -1, \quad \widetilde{a}_{33} = + (1 - 0) = 1$
ステップ3：転置して余因子行列を構築
算出した余因子を縦横入れ替えて配置します。
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} \widetilde{a}_{11} & \widetilde{a}_{21} & \widetilde{a}_{31} \\ \widetilde{a}_{12} & \widetilde{a}_{22} & \widetilde{a}_{32} \\ \widetilde{a}_{13} & \widetilde{a}_{23} & \widetilde{a}_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
ステップ4：行列式で割る
$$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
3. 4×4行列における計算手順の限界
4×4行列で余因子行列法を採用する場合、16個の成分それぞれに対して「3×3行列式」を計算する必要があります。さらに全体の4×4行列式を1回計算するため、合計で17回もの小行列式計算を強いられます。試験時間内での手計算としては極めてリスクが高く、一般には後述する「掃き出し法」を選択するのが合理的です。
