画面下に「iPhoneメールサーバーの応答がありません」というポップアップが繰り返し表示される場合、端末に保存されているログイン認証情報とサーバー側の鍵情報が不一致を起こしています。パスワードを変更した直後や、長期間パスワード更新を行っていないアカウントで頻発する警告です。
このエラーは手動でパスワードを入力し直しても解決しない場合があるため、iPhoneメールアカウント再設定手順を実践するのが最短ルートです。
「設定」アプリ ＞「メール」 ＞「アカウント」から対象のメールアドレスを選択し、一度「アカウントを削除」をタップします（※IMAPやクラウドメールであればサーバー上にデータが残るため消去されません）。その後、端末を再起動した上で、再度「アカウントを追加」からログイン情報を入力し直すことで、サーバーとの通信経路が完全にクリーンアップされます。
