3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ （$a \neq 0$）の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、解と係数の間には以下の関係式が成り立ちます。
- 1つの解の和： $\alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{b}{a}$
- 2つの解の積の和： $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \dfrac{c}{a}$
- 3つの解の積： $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
多くの高校生が「どの項がプラスで、どの項がマイナスだったか」で混乱します。しかし、この符号配置には明確な構造的規則が存在します。
まず、方程式の両辺を最高次の係数 $a$ で割ると、$x^3 + \dfrac{b}{a}x^2 + \dfrac{c}{a}x + \dfrac{d}{a} = 0$ となります。一方で、$\alpha, \beta, \gamma$ を解に持つ3次方程式は、因数分解の形で $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = 0$ と記述できます。この左辺を展開すると次のようになります。
$$x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$$
この2つの式は完全に一致する恒等式であるため、対応する次数の係数を比較することで、先述の3つの関係式が自然に導き出されます。掛け合わせる解の個数が「1個（奇数）→マイナス」「2個（偶数）→プラス」「3個（奇数）→マイナス」という形で、符号が交互に反転する構造を視覚的に捉えれば、公式を丸暗記する必要は一切ありません。
