定期テストや入試直前期の総整理として、表面積だけでなく混同しやすい「体積」も含めた円錐の体積と表面積 公式まとめを網羅し、典型的な頻出計算問題を解く手順を体系化しました。
【円錐の完全公式バイブル】
- 底面の半径： $r$、母線の長さ： $l$、円錐の高さ： $h$
- 底面積： $S_{\text{底面}} = \pi r^2$
- 側面積（裏ワザ）： $S_{\text{側面}} = \pi l r$ （母線×半径×$\pi$）
- 表面積： $S_{\text{全}} = \pi r^2 + \pi l r = \pi r (r + l)$
- 展開図の中心角： $\text{中心角} = 360^\circ \times \frac{r}{l}$ （$360^\circ \times \frac{\text{半径}}{\text{母線}}$）
- 円錐の体積： $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ （「柱」の体積の3分の1）
頻出計算問題のステップ解説
【例題】
底面の半径が $6\,\text{cm}$、母線の長さが $15\,\text{cm}$ の円錐があります。
（1）展開図のおうぎ形の中心角を求めなさい。
（2）円錐の側面積を求めなさい。
（3）円錐の表面積を求めなさい。
【解説と解答手順】
（1）中心角の求め方
中心角を求める際も、いちいち大円の円周を出す必要はありません。「$360^\circ \times \frac{\text{半径}}{\text{母線}}$」で即答できます。
$$360^\circ \times \frac{6}{15} = 360^\circ \times \frac{2}{5} = 144^\circ$$
答：$144^\circ$
（2）側面積の求め方
ここで（1）で出した $144^\circ$ を使っておうぎ形の面積を計算するのは下策です。迷わず裏ワザ公式 $\pi l r$ を適用します。
$$\text{側面積} = \pi \times 15 \times 6 = 90\pi\,\text{cm}^2$$
答：$90\pi\,\text{cm}^2$
（3）表面積の求め方
表面積は「底面積＋側面積」です。底面積を計算して（2）の結果と合算します。
$$\text{底面積} = \pi \times 6^2 = 36\pi\,\text{cm}^2$$
$$\text{表面積} = 36\pi + 90\pi = 126\pi\,\text{cm}^2$$
（※別解として、因数分解型公式 $\pi r (r + l) = \pi \times 6 \times (6 + 15) = \pi \times 6 \times 21 = 126\pi\,\text{cm}^2$ を用いると、足し算すら1回で完了します）
答：$126\pi\,\text{cm}^2$
