高校入試や中3数学の定期テストで頻出かつ最大の関門となるのが、放物線（y = ax²）の変域です。ここで頻発する疑問が「なぜ突然0が現れるのか」という点です。
答えは極めて明快で、放物線の頂点が原点（0, 0）にあり、グラフの山または谷の折り返し地点になっているからです。例えば y = x² において、xの変域が「-2 ≦ x ≦ 3」の場合を考えてみます。xはマイナスからプラスへと変化しており、その途中で必ず「0」を通過します。これを「0をまたぐ」と呼びます。
y = x² のグラフを描くと、原点（0, 0）が最も低い谷底になります。xが-2のときyは4、xが3のときyは9ですが、グラフ全体の最も低い場所はxが0のときの「y = 0」です。したがって、最大値は9、最小値は0となり、yの変域は「0 ≦ y ≦ 9」が正解となります。端点である-2を代入して「4 ≦ y ≦ 9」と答えてしまうミスが後を絶たないのは、この谷底の存在を見落としているからです。
a < 0（上に凸の放物線）の場合も理屈は同じです。原点が最も高い山の頂上になるため、0をまたぐときは最大値が必ず0になり、最小値は原点から横に最も離れた端点の値になります。「端点同士の比較」ではなく、「原点を含んでいるかどうか」を真っ先に判定することが、二次関数の変域問題を解く鉄則です。
